Rendu 6 : Géométrie fractale – partie 1

La géométrie fractale

Le but de cet exercice est d’apprendre à dessiner des courbes fractales. Une des méthodes est de créer un motif et le transformer par la suite en appliquant des similitudes.

Exemple 1 : La courbe du crabe

Afin de créer cette géométrie, on va utiliser :

• axiome : un segment de droite D dont l’origine est S et l’extrémité E
• règle de substitution : il s’agit de d’appliquer à la ligne 2 similitudes de rapport Racine de 2 / 2 et d’angle pi/4 et -pi/4 centrées sur S pour l’une et sur E pour l’autre

Programmation en Grasshopper :

• Etape 1

On commence par dessiner un segment de droite en Rhino, en l’associant à un paramètre Curve (Param/Curve).

• Etape 2

Ensuite on ajoute un composant Scale afin d’appliquer à la ligne une transformation homothétique de centre S et de rapport racine de 2/2.

• Etape 3

On va insérer un composant Panel (Params/Input/Planel), dans lequel on va indiquer le chiffre 2. Ainsi, composant SquareRoot (Maths/Polynomial/Square Root) et un composant Division (Maths/Operators/Division).

Une autre façon c’est utiliser Expression (Maths/Script/Expression) et d’indiquer l’expression sqrt(2)/2.

• Etape 4

Utiliser le composant Rotation (Transform/Euclidian/Rotate), ce qui permettra une rotation à la ligne de son centre S, en suivant l’angle pi/4.

• Etape 5

On va placer un autre composant Scale (Transform/Affine/Scale), pareil pour le composant Rotation (Transform/Euclidian/Rotate), mais qui indiquera cette fois une rotation d’un angle -pi/4.

On va appliquer un composant Panel (Params/Input/Panel) qui indique la règle de substitution de la grammaire de génération du crabe fractal.

• Etape 6

D’abord, on va télécharger le plugin Anemone, qui nous permettra de contrôler une application récursive. On va insérer un composant LoopStart (Anemone/Class/LoorStart) et un composant LoopEnd (Anemone/Class/LoorEnd), afin d’indiquer le début et la fin de l’opération récursive. On va placer le paramètre booléen (Params/Input/Button) afin de pouvoir réinitialiser le traitement récursif. En ajoutant un slider on peut contrôler le nombre entier d’itérations.

Exemple 2 : La courbe du dragon

Dans cet exemple on va appliquer à la ligne 2 similitudes de rapport racine de 2/2 et d’angle pi/4 et -pi/4, ainsi on va inverser la deuxième ligne générée.

Exemple 3 : Le triangle de Sierpinsky

Ces ensembles de transformations applicables récursivement sur les éléments d’un objet produisent des géométries nouvelles et complexes. Je trouve cette méthode d’utilisation de la géométrie fractale intéressante pour la fabrication du bois, par exemple, des structures portantes, des façades biomimétiques, etc.